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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\textbf{Partie A : Approche expérimentale}

\begin{enumerate}
	\item La population semble maximale pour $t \approx 1$ heure.
	
	\item La population dépasse $1$ million de bactéries par mL pour $t \in [0{,}3 \,;\, 2{,}5]$ environ.
	
	\item La courbe est d’abord convexe puis concave : il y a un changement de courbure vers $t \approx 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Modèle mathématique}

\begin{enumerate}
	\item Résolution de $(E') : y' + y = 0$ :
	
	\[
	y' = -y \Rightarrow y(t) = Ce^{-t}, \quad C \in \mathbb{R}.
	\]
	
	\item On pose $u(t) = at e^{-t}$.
	
	\[
	u'(t) = a e^{-t} - a t e^{-t} = a(1 - t)e^{-t}.
	\]
	
	Alors :
	\[
	u'(t) + u(t) = a(1 - t)e^{-t} + at e^{-t} = a e^{-t}.
	\]
	
	On veut $u'(t) + u(t) = 5e^{-t}$, donc $a = 5$.
	
	\item Les solutions de $(E)$ sont :
	
	\[
	y(t) = Ce^{-t} + 5t e^{-t}.
	\]
	
	\item Condition initiale : $f(0) = 0$
	
	\[
	f(0) = C + 0 = 0 \Rightarrow C = 0.
	\]
	
	Donc :
	\[
	f(t) = 5t e^{-t}.
	\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Exploitation}

\begin{enumerate}
	\item 
	\[
	\lim_{t \to +\infty} 5t e^{-t} = 0.
	\]
	
	Interprétation : la population finit par disparaître (épuisement du milieu).
	
	\item 
	\[
	f'(t) = 5e^{-t} - 5t e^{-t} = 5(1 - t)e^{-t}.
	\]
	
	Signe de $f'(t)$ :
	\begin{itemize}
		\item $f'(t) > 0$ si $t < 1$
		\item $f'(t) = 0$ si $t = 1$
		\item $f'(t) < 0$ si $t > 1$
	\end{itemize}
	
	Tableau de variation :
	
	\[
	\begin{array}{c|ccc}
		t & 0 & 1 & +\infty \\
		\hline
		f'(t) & + & 0 & - \\
		\hline
		f(t) & 0 & \nearrow & \searrow \\
		&   & \frac{5}{e} & 0
	\end{array}
	\]
	
	Maximum : $\dfrac{5}{e} \approx 1{,}84$, atteint pour $t = 1$.
	
	\item Résolution de $5t e^{-t} = 1$.
	
	On trouve (numériquement) :
	\[
	t_1 \approx 0{,}26 \quad \text{et} \quad t_2 \approx 2{,}54.
	\]
	
	\item La population dépasse $1$ million pour :
	\[
	t \in [0{,}26 \,;\, 2{,}54].
	\]
	
	Durée :
	\[
	2{,}54 - 0{,}26 = 2{,}28 \text{ heures}.
	\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie D : Population moyenne}

\begin{enumerate}
	\item 
	\[
	P_m = \int_0^1 5t e^{-t} dt.
	\]
	
	Intégration par parties :
	\[
	\int t e^{-t} dt = -t e^{-t} - e^{-t}.
	\]
	
	Donc :
	\[
	P_m = 5[-t e^{-t} - e^{-t}]_0^1 = 5\left(-\frac{2}{e} + 1\right).
	\]
	
	\item 
	\[
	P_m = 5\left(1 - \frac{2}{e}\right) \approx 1{,}32.
	\]
	
	\item Interprétation : en moyenne, durant la première heure, la population est d’environ $1{,}32$ million de bactéries par mL.
\end{enumerate}

\end{document}